儀器精度分析與設計

精度是光電儀器的一項重要技術指標，在一定程度上決定了儀器的用途和價值。尤其對于計量類光電儀器，精度是功能指標中zui重要的一項。隨著科技的發展，計量類光電儀器需要達到的精度指標越來越高，以半導體工業為例，目前個人計算機CPU線寬已達32nm，這就要求半導體的光刻設備和測量儀器本身的精度至少達到納米量級。毫不夸張地說，儀器測量精度的提高是制造技術發展的前提。

為了設計和實現這樣高精度的光電儀器，首先要對現有儀器進行精度分析，找出誤差產生的根源和規律，分析誤差對儀器設備精度的影響，評價該儀器的精度。精度分析一方面是確定已有儀器指標*的步驟，另一方面也有助于提出改進措施，進一步優化儀器設計，提高精度指標。

對于新儀器設計來說，精度設計或者精度分配更是重要的內容。精度分配是在精度分析的基礎上，針對系統總精度指標，對各個子單元的精度進行分配，遵循一定的設計原則選擇合理的儀器方案，完成元件選型，設計正確的補償方式，在保證經濟性的基礎上達到高的精度。

本章主要從精度分析和精度設計兩方面闡述儀器精度理論與方法，主要內容包括：各項誤差的來源與特性，誤差的評定和估計方法，誤差的傳遞、轉化和合成的規律；誤差分配的原則和方法，提高儀器精度的設計原則，誤差補償的思路和方法等。由于儀器精度分析和設計都是實用性很強的理論方法，因此本章結合若干光電儀器的實例，對其理論方法進行具體說明，便于讀者理解和掌握。

▲儀器的誤差與精度

一、誤差的基本概念

1.誤差的定義

測量誤差△i是指測得值xi與標稱值（或真值）x0之間的差。即

式中，i為測量次數。

誤差的大小反映了測量值對于標稱值的偏離程度。誤差是客觀存在的，無論測量手段精度多高，誤差都不會為零。多次重復測量某物理量時，各次測定值并不相同，這是誤差不確定性的表現。真實的誤差值是未知的，因為通常真值是未知的。為了能正確表達誤差，人們根據對誤差認知的準確度和可信度的要求，確定了以下方法來獲得真值：

1)理論真值（即名義值）：設計時給定的或是用數學、物理公式計算的理論值，例如零件的名義尺寸等。

2)約定真值：世界各國*的一些幾何量和物理量的zui高基準的量值，如作為長度基準的單位米，其定義為光在真空中1/299792458s時間間隔內所經路徑的長度。

3)相對真值：當器與準確度高一個等級的儀器比較時，可將該準確度高一個等級的儀器標的測量值視為“真值”，或稱其為相對真值或標準值。

2.誤差的表示方法

誤差可以用誤差和相對誤差兩種方式表達。誤差是指測得值x與被測量真值x0之差。誤差具有量綱，能反映出誤差的大小和方向，但不能反映出測量的精細程度。誤差△可表示為

誤差與被測量真值的比值稱為相對誤差。相對誤差無量綱，但它能反映測量工作的精細程度。相對誤差δ可以表示為

3.誤差分類

按照誤差的數學特征可以分為：

1)系統誤差（SystematicError):系統誤差的大小和方向在測量過程中恒定不變，或按一定的規律變化。一般來說，系統誤差是可以用理論計算或實驗方法求得，可預測它的出現，并可以進行調節和修正的。

2)隨機誤差(RandomError)：隨機誤差是由一些獨立因素的微量變化綜合影響造成的。其數值的大小和方向往往沒有確定性規律，不可預見，但就其總體來說服從統計規律。常見的大多數隨機誤差服從正態分布。

3)粗大誤差（Gross Error):粗大誤差指明顯超出統計規律預期的誤差。其產生的原因主要是由于某些突發性的異常因素或疏忽所致。由于該誤差的數值一般較大，所以按照一定的準則進行判別，就可以將含有粗大誤差的測量數據剔除。

按照被測參數的時間特性，誤差可以分為：

1)靜態參數誤差：不隨時間變化或隨時間緩慢變化的被測參數稱為靜態參數，測定靜態參數所產生的誤差稱為靜態參數誤差。

2)動態參數誤差：被測參數是時間的函數，這樣的參數稱為動態參數。測定動態參數所產生的誤差稱為動態參數誤差。

按照誤差間的關系可分為：

1)獨立誤差：彼此相互獨立、互不相關、互不影響昀誤差稱為獨立誤差。

2)非獨立誤差（或相關誤差）：一種誤差的出現與其他的誤差相關聯，這種彼此相關聯的誤差稱為非獨立誤差。在進行誤差間的關聯計算時，其相關系數不為零。

4.多次重復測量數據的處理

利用儀器進行物理量的測量時，多次測量的結果往往不一致，這就是因為每次測量的數據中都含有誤差的緣故。在滿足正態分布的重復測量條件下，假設進行了n次測量，其結果分別為xi（i=1，2，…，n)為了合理表示該重復測量的結果，通常按以下步驟進行：

1)算術平均值:即所有測量值的算術平均值，常用來作為該多次測量的*估計。 算術平均值表示為

2)殘佘誤差:-每個測量值與算術平均值的差值，反映當次測量與平均結果的偏差。

3)單次測量的標準差σ:反映多次測量結果的分散程度，用來衡量隨機誤差的大小。 單次測量的標準差σ表示為

得到單次測量的標準差之后，對測量中出現的粗大誤差可以按統計準則判斷并剔除其中該含有粗大誤差的異常數據。例如，在大樣本測量的基礎上，如果隨機誤差服從正態分布， 殘余誤差分布在± 3σ以外的概率僅為0.3%，就可依據3σ準則對粗大誤差進行剔除。當 時，認為該次測量xi出現粗大誤差，擬從測量結果中舍去該次測量的數據。不過這一準則是基于樣本數大于50的正態樣本數據的統計推理的結果，在測量次數小于10時，按式（3-5)，可以得知，一個異常數據無論如何遠離其他（n-1)個數據，都不會出現。對于通常樣本數小于10的情形，可按誤差理論介紹的諸如格拉布斯準則和狄克遜準則來進行統計判斷。

剔除粗大誤差后按照式(3-5)重新計算標準差σ，得到合理的單次測量均方誤差。

4)算術平均值的均方誤差σp:得到剔除粗大誤差后的單次測量均方誤差后，再進行m次測量，取算術平均值，對應的隨機誤差將減小至原來的。這反映的是，多次測量可以減小測量結果包含的隨機誤差。需要注意的是，系統誤差并不能通過多次測量消除。算術平均值的均方誤差σp表示為

5)重復測量結果的極限誤差△max:根據誤差分布接近正態的數學性質，按高的置信概率，測量結果的極限誤差△max常取為

6)重復測量的結果:由兩部分組成，算術平均值可視為該測量結果接近真值的一種*估計，極限誤差則反映了該測量結果的隨機誤差大小。